Het sofaprobleem, een alledaags probleem dat verhuizers tegenkomen als ze een bank door een hoekige gang moeten verplaatsen, houdt wiskundigen al tientallen jaren bezig. Nu heeft een Zuid-Koreaanse wiskundige de best verhuisbare bankvorm gevonden.
Wat is de grootste bank die je om de hoek van een gang kunt wurmen? Een hoefijzervormig exemplaar, dat bekendstaat als Gervers bank, gaat er nu officieel met de titel vandoor. Daarmee is een wiskundig vraagstuk opgelost dat bijna zestig jaar geleden is bedacht.
Sofaprobleem
Veel mensen zullen bekend zijn met de problemen die je tegenkomt als je probeert grote meubelstukken in huis te verplaatsen. Wiskundigen buigen zich sinds 1966 over dit ‘sofaprobleem’. Toen zette de Oostenrijks-Canadese wiskundige Leo Moser dit vraagstuk voor het eerst op papier. Het probleem draait erom dat je een tweedimensionale sofa (dus zonder rekening te houden met zijn hoogte) door een gang met een hoek van 90 graden probeert te navigeren. De vraag is wat qua oppervlakte de grootste vorm is waarvoor deze beweging mogelijk is.
‘Einstein liep als theoreticus vast op de nieuwe bevindingen’
Toen de Nederlandse natuurkundige Heike Kamerlingh Onnes iets geks ontdekte over supergeleiding, was dit onder veel fysici het gesprek van de dag. Maa ...
Wiskundigen stelden al snel vast dat een vorm die leek op een ouderwetse telefoonhoorn de grootste oppervlakten mogelijk maakte. In 1992 vond wiskundige Joseph Gerver van de Rutgers-universiteit in de VS de optimale variant van deze vorm, die uit 18 gebogen secties bestaat.
Het lukte wiskundigen sindsdien niet meer om nog grotere sofa’s te vinden. Daarom begonnen ze te vermoeden dat die van Gerver weleens de grootste kon zijn. Maar niemand kon bewijzen dat er niet een nog grotere sofa om de hoek zou komen kijken.
Onomstotelijk bewijs
Nu heeft wiskundige Jineon Baek van de Yonsei-universiteit in Zuid-Korea aangetoond dat de oplossing van Gerver inderdaad de grootst mogelijke is. Het bewijs dat hij op papier zette, beslaat meer dan 100 pagina’s en is het sluitstuk van het 58 jaar oude probleem.
Baek begon zeven jaar geleden aan de puzzel te werken. Hij zegt dat hij na ongeveer twee jaar de hoofdlijnen van het bewijs had bedacht, maar dat het nog eens vijf jaar duurde om alle details glad te strijken. ‘Ik heb er veel tijd in gestoken, maar tot nu toe zonder enige [wetenschappelijke] publicatie’, zegt Baek. ‘Het feit dat ik nu tegen de wereld kan zeggen dat ik iets waardevols voor dit probleem heb gedaan, voelt als een bevestiging.’
Baeks bewijs kijkt eerst naar een kleine selectie van alle mogelijke bankvormen en gebruikt deze om te bewijzen dat de grootste bank bepaalde eigenschappen moet hebben. Zo moet de bank een relatief gladde buitenzijde en een bepaalde symmetrie hebben. Ook moet hij natuurlijk om een hoek van 90 graden kunnen draaien.
Op basis van deze eigenschappen bedacht Baek vervolgens een nieuwe wiskundige grootheid die in verband staat met oppervlakte, Q genaamd, die het analyseren van het probleem eenvoudiger maakte. Deze stap veranderde het vraagstuk van een open scenario, een zogeheten ‘niet-convex probleem’, in een scenario met duidelijke en vaststaande, ofwel ‘convexe’ oplossingen. Een beetje zoals een bal die naar de bodem van een kom rolt niet zomaar alle kanten op schiet, terwijl een bal die van de top van een heuvel afrolt dat wel doet.
Baek ontdekte vervolgens dat de grootste waarde voor Q precies de oplossing was die Gerver al had voorgesteld. Hij bewees dat geen enkele verhuisbare bank groter kon zijn.
Overlevende hersencellen
‘Ik ben natuurlijk heel blij hiermee’, zegt Gerver. ‘Ik ben 75 jaar oud en Baek kan niet ouder dan 30 zijn. Hij heeft veel meer energie, uithoudingsvermogen en overlevende hersencellen dan ik, dus ik ben blij dat hij het stokje heeft overgenomen. Ik ben ook heel blij dat ik lang genoeg geleefd heb om hem te zien afmaken wat ik ben begonnen.’
Wiskundige Dan Romik van de Universiteit van Californië in de VS, die zelf ook aan het sofaprobleem heeft gewerkt en oplossingen heeft gepubliceerd, noemt het een geweldige ontwikkeling. ‘Ik weet dat ik dit nooit voor elkaar had gekregen’, zegt Romik. ‘Ik heb geen spijtgevoelens, of zoiets van ‘hoe heb ik dit kunnen missen’, want het is duidelijk dat het gewoon niet het soort denken is waarvan ik denk dat ik er toe in staat ben. Baek benaderde het vanuit een compleet andere richting.’
Het bewijs moet nog gecontroleerd worden door andere wiskundigen, dus het is mogelijk dat er een fout in zit, maar Baek heeft goede hoop dat hij gelijk heeft. ‘Ik kan niet zeggen dat ik er 100 procent zeker van ben, want we zijn mensen en we maken fouten. Maar ik heb mijn best gedaan om er zo zeker mogelijk van te zijn’, zegt hij.
