Als er geen wrijving bestond, konden we π benaderen op onze biljarttafel. Het getal π kun je namelijk benaderen door ballen tegen elkaar te laten botsen en via de muur terug te laten kaatsen. 

In de afgelopen millennia zijn vele andere manieren bedacht om een getal te berekenen dat dicht bij π in de buurt komt. Egyptenaren in de zestiende eeuw voor Christus schatten π op 256/81≈3,16 door het oppervlak van een achthoek te berekenen en zo een cirkel te benaderen. Archimedes benaderde π door het gemiddelde tussen de omtrek van een veelhoek buiten en dat van een veelhoek binnen een cirkel te berekenen, en dit getal te delen door de diameter. De Poolse wiskundige Kochański gebruikte in de zeventiende eeuw een meetkundige constructie waarbij π zo nauwkeurig benaderd kon worden, dat bij een cirkel met een diameter van twee meter het verschil tussen π en zijn benadering maar 0,06 millimeter zou zijn.

De Amerikaanse wiskundige Gregory Galperin liet zich voor zijn benaderingsmethode inspireren door biljart. Stel, je plaatst twee biljartballen op een biljarttafel. Bal 1 ligt stil, bal 2 beweegt in een rechte lijn richting bal 1. Als alle kinetische energie behouden blijft, en er dus geen wrijving is, hoeveel botsingen zullen dan plaatsvinden? Dit hangt af van de verhouding in gewicht tussen de twee biljartballen. Als ze beide even zwaar zijn, gebeurt het volgende:

Ockhams scheermes: hoe een middeleeuwse monnik de kracht van eenvoud doorzag
LEES OOK
Ockhams scheermes: hoe een middeleeuwse monnik de kracht van eenvoud doorzag
  • bal 2 stoot tegen bal 1
  • bal 1 stoot tegen de rand van de biljarttafel en rolt weer terug
  • bal 1 duwt bal 2 weg.

Dat zijn drie botsingen in totaal. Ook de decimale notatie van het getal π begint met een 3. Dit is nog niet zo indrukwekkend, drie is tenslotte een nogal ruime benadering van pi. Indrukwekkend wordt het pas als de verhouding in gewicht tussen de objecten wordt vergroot. Want wat gebeurt er wanneer de botsende voorwerpen niet even zwaar zijn, maar de één honderd keer zo zwaar is als de ander? Of een miljoen keer zo zwaar? Of een triljoen keer zo zwaar?

Onderstaand filmpje laat zien hoeveel botsingen plaatsvinden als de gewichtsverhouding tussen object 1 en 2 telkens honderd keer zo groot wordt gemaakt.

(Spoiler alert: als het ene object een biljoen keer zwaarder is dan het andere, resulteert dat in 3.141.592 botsingen.)

 

Maar waarom gebeurt dit? Waarom benaderen de botsingen tussen objecten op een frictieloze lijn π? De verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de bijbehorende diameter lijkt op het eerste gezicht weinig te maken te hebben met objecten op een rechte lijn. In onderstaande video wordt uitgelegd waarom er een verband bestaat tussen π en de botsingen van lineair bewegende objecten.