Een onbevredigend voorbehoud is weggenomen bij de wiskundige doorbraakvondst van een einstein, een tegelpatroon die een oppervlak kan bedekken zonder ooit in herhaling te vallen. De nieuw ontdekte vorm bedekt een oppervlak zonder zich te herhalen en zonder spiegelbeelden.

Wiskundigen hebben eerder dit jaar een decennia oud vraagstuk opgelost, toen ze een vorm ontdekten die een oppervlak volledig kan bedekken zonder ooit een herhalend patroon te vormen. Maar er was wel een voorbehoud: zowel deze vorm als zijn spiegelbeeld waren nodig. Nu heeft hetzelfde team ontdekt dat een aangepaste versie van de oorspronkelijke vorm dat ook kan, maar dan zonder dat het spiegelbeeld nodig is.

Eenvoudige vormen zoals vierkanten en gelijkzijdige driehoeken kunnen een oppervlak bedekken zonder dat er lege plekken overblijven. Dat levert een patroon op dat zich herhaalt. Wiskundigen zijn al langer geïnteresseerd in een complexere versie van betegelen, aperiodiek betegelen, waarbij vormen worden gebruikt die zich nooit herhalen.

Onderzoekers doen nog steeds allerlei wonderlijke ontdekkingen over ijs
LEES OOK

Onderzoekers doen nog steeds allerlei wonderlijke ontdekkingen over ijs

Vroeger zagen mensen ijs als iets wonderlijks, terwijl je het nu zelfs hartje zomer gewoon uit de vriezer haalt. Max Leonard vindt dat we dit bevroren ...

De beroemdste aperiodieke tegels werden gevonden door wiskundige Roger Penrose, die in de jaren 1970 ontdekte dat twee verschillende vormen gecombineerd konden worden om een oneindige, zich nooit herhalende tegelpatroon te maken. 

Einstein

In maart vonden wiskundige Chaim Goodman-Strauss van de Universiteit van Arkansas en zijn collega’s de hoed, een vorm waarmee datzelfde zou kunnen met één vorm. Zo’n vorm wordt einstein  genoemd (van het Duitse “ein Stein” of “één steen”). Wel was er zowel een linkshandige als een rechtshandige versie van de hoed nodig. Dit was een ietwat onbevredigende oplossing. De vraag bleef of een enkele vorm hetzelfde kon bereiken zonder te hoeven spiegelen.

Een deel van een tegelpatroon met spectre-vormen die zich oneindig herhalen zonder reflecties. De spectre-vormen rechts zijn een variant op die links, maar dan met afgeronde hoeken. Beeld: David Smith et al

De onderzoekers hebben nu de gelijkzijdige veelhoek uit hun eerdere onderzoek aangepast om een nieuwe familie van vormen te scheppen die spectres worden genoemd. Deze leveren einsteins op, vormen die niet-herhalend kunnen betegelen, maar dan zonder gebruik te maken van reflecties.

Slecht begrepen tegelpatroon

De onderzoekers zeggen in hun artikel dat de vorige ontdekking van de hoed duidelijk maakte hoe slecht begrepen tegelpatronen nog zijn. Ze waren verrast dat ze zo snel al weer een doorbraak te pakken hadden.

‘Er is zeker geen bewijs dat de hoed (en het continuüm van vormen waartoe hij behoort) op de een of andere manier uniek is, en we zouden daarom kunnen hopen dat er in het kielzog een dierentuin van interessante nieuwe einsteins zal opduiken’, schrijven de onderzoekers in hun nieuwe artikel. ‘Desalniettemin hadden we niet verwacht er al zó snel een te vinden.’

Wiskundige Sarah Hart van de Birkbeck Universiteit in Londen zegt dat het nieuwe resultaat nog indrukwekkender is dan de oorspronkelijke vondst. ‘Het is zeer intellectueel bevredigend om een oplossing te hebben die geen spiegelbeeld nodig heeft. Als je echte tegels zou hebben, dan zijn een tegel en zijn spiegelbeeld ook niet hetzelfde’, zegt ze, ‘Met deze nieuwe tegel zijn er niet zulke beperkingen.’