Voor het maken van steeds betere en snellere elektronica moet je het gedrag van de componenten en circuits waaruit die ­elektronica bestaat goed kunnen simuleren. Numeriek wiskundige Wil Schilders ontwikkelt efficiënte methodes om deze simulaties mogelijk te maken.

We spreken met Wil Schilders op de dag dat de ‘vader van de sudoku’, Maki Kaji, is overleden. Kaji populariseerde het nummerspelletje en gaf het zijn huidige naam. Een bijzonder toeval: Schilders, hoogleraar numerieke wiskunde aan de Technische Universiteit Eindhoven, verslindt namelijk sudoku’s in zijn vrije tijd. Hij schreef zelfs drie boeken over hoe je deze populaire puzzels kunt oplossen. Telefoontjes van de media stromen binnen: of hij even kan vertellen hoeveel mensen in Nederland sudoku’s oplossen? ‘Dat weet ik ook niet, hoe moet ik daarachter komen? Dan moet je een steekproef laten doen door Maurice de Hond’, aldus Schilders.

Waar hij zich wel in verdiept, is welke structuren er achter deze cijferpuzzels schuilgaan en met welke strategie je elke sudoku, hoe moeilijk ook, te lijf kunt gaan. Deze hobby staat symbool voor zijn werk als numeriek wiskundige: hij duikt diep in alle problemen die hij voorgeschoteld krijgt en ontwikkelt methodes om deze problemen op te lossen.

Afbeelding 2
Wil Schilders is hoogleraar numerieke wiskunde aan de Technische Universiteit Eindhoven. Beeld: Bob Bronshoff.

Jarenlang deed hij dat in de halfgeleider­industrie. Halfgeleiders vormen de basis­componenten van onze elektronica. Je kunt er bijvoorbeeld elektronische schakelaartjes van maken: transistoren. Staat zo’n schakelaar uit, dan geleidt die geen stroom en maakt een computer er een 0 van. Staat zo’n schakelaar aan, dan geleidt die wel stroom en maakt een computer er een 1 van. Met die nullen en enen voert een computer al z’n berekeningen uit.

Om de halfgeleiders en elektronische ­circuits in onze apparaten beter en efficiënter te maken, is wiskunde hard nodig. Je moet deze componenten dan namelijk eerst vangen in modellen: sets van vergelijkingen die hun gedrag onder allerlei omstandigheden beschrijven. Sla je hiermee aan het rekenen, dan levert dat een hele hoop getallen op – vandaar het ‘numeriek’ in numerieke wiskunde. Om alles enigszins behapbaar te houden, ontwikkelt Schilders methodes die met zo min mogelijk rekenwerk een zo nauwkeurig mogelijke oplossing geven.

Dertig jaar was Philips de plek waar Schilders zich met deze ‘puzzeltjes’ bezighield, tegenwoordig is dat de TU Eindhoven. Daarnaast kijkt hij nu hoe hij zijn kennis ook bij andersoortige problemen kan inzetten. Schilders: ‘Het abstracte denken van wiskunde kan voordelig zijn in heel veel andere disciplines.’

Waarom bent u ooit begonnen met ­sudoku’s maken en analyseren?

‘Ik kreeg van mijn vrouw op Schiphol een keer zo’n puzzelboekje. Ik dacht: ‘Goh, dat is leuk, cijferpuzzeltjes.’ Daarvoor loste ik altijd kruiswoordpuzzels op. Ik ging steeds meer sudokuboekjes kopen in alle landen waar ik voor mijn werk kwam. En als wiskundige ben je dan toch geïnteresseerd in wat je daar voor structuur in kunt ontdekken en hoe je die dingen moet oplossen. Dus gaandeweg ben ik in die puzzelboekjes aantekeningen gaan maken. En in 2010 ben ik zes weken gaan zitten om dat allemaal in een boek te verwoorden. Het is een heel leerboek geworden waarin ik mensen uitleg hoe je een sudoku zou kunnen oplossen.’

Wat voor soort wiskunde heb je daarvoor nodig?

‘Eigenlijk heb je daar geen wiskunde voor nodig, alleen logisch inzicht. Iedereen kan sudoku’s oplossen. In mijn boek draag ik aan wat volgens mij de beste manier is. In andere boeken wordt vaak aangeraden om op een gegeven moment alle mogelijkheden in een hokje op te schrijven. Daarna wordt er niet meer verteld wat je moet doen. Ik zeg: beperk je tot de hokjes waarin je nog maar twee mogelijkheden hebt. Schrijf die op, en met die getallenparen kun je alle puzzels oplossen. Ik leg dan ook uit hoe je dat precies moet doen.’

‘Wiskundigen maken steeds moeilijkere sudoku’s om hun algoritmen mee te testen’

Hoe moet je dat precies doen?

‘Met die getallenparen kun je verrassend veel doen. Soms komen ze ook in drietallen of viertallen voor. Daarnaast zijn die getallen­paren een uitkomst voor de allermoeilijkste sudoku’s, waarbij je op een gegeven moment met ‘logische’ stappen niet verder komt. In dit geval zoek je ergens een getallenpaar en ga je twee paden bewandelen. Het mooie is dat er dan verschillende dingen kunnen gebeuren. Het ene pad kan doodlopen of tot tegenspraken leiden; dan weet je dat het andere pad het juiste is. Maar de twee paden kunnen ook weer bij elkaar komen en in één hokje tot hetzelfde cijfer leiden. Wiskundigen putten zich uit om steeds moeilijkere sudoku’s te maken. Niet alleen voor de lol, ook om daar hun optimalisatie-algoritmen of andere technieken mee te testen.

Lijkt uw werk met sudoku’s een beetje op wat u in het dagelijks leven doet: het simuleren van halfgeleiders en ­elektronische circuits?

Nee, totaal niet. Wel is het zo dat een wiskundige iemand is die abstract denkt en structuren probeert te ontdekken. Dus dat heb ik bij die sudoku’s gedaan. Maar bij simulaties ben je met andere dingen bezig. Dan is dit te ­simpel. Er zitten wel heel veel wiskundige aspecten aan sudoku’s: bijvoorbeeld de vraag hoeveel gegeven cijfers een sudoku moet hebben om hem uniek oplosbaar te maken. Een Ier heeft bewezen dat je daarvoor 17 van de 81 vakjes nodig hebt. Dat is een computerbewijs; daar heeft hij miljoenen uren ­computertijd aan gespendeerd. Hij heeft allerlei mogelijkheden geïdentificeerd en die vervolgens allemaal door zitten te rekenen.

Bij de allermoeilijkste sudoku’s van de wereld kun je geen vakje met twee mogelijkheden vinden, dus moet je starten bij een vakje met drie mogelijkheden. Maar zelfs die zijn in principe prima op te lossen met bruut rekenwerk. Zelfs je iPhone kan dat vrij snel. Maar vanuit mijn vakgebied, numerieke wiskunde, bedenk ik weleens of ik numerieke methodes kan gebruiken om die sudoku stapsgewijs op te lossen. Daar zijn ook wel manieren voor. Dan schrijf je een stelsel van vergelijkingen op, waar je vervolgens met allerlei wiskundige technieken de oplossing uit kunt halen. Dan zit je iets dichter bij mijn vakgebied.’

Vormt structuren ontdekken een beetje de rode draad in uw leven?

‘Ja, zeker. Ik begon bij Philips. Dat was in de ‘goede’ tijd: alles was mogelijk, geld speelde geen enkele rol. Ik zat heel de dag gewoon wiskunde te doen. Ik had drie adviseurs, hoogleraren, die elke twee weken langskwamen. Dan zaten we met zijn allen om een tafel, terwijl er eentje voor een bord stond. Van te voren had ik wat huiswerk gestuurd, en daar gingen we dan over praten.’

Afbeelding 3
Jim Jansen en Fenna van der Grient (R) gingen in gesprek met numeriek wiskundige Wil Schilders (L). Beeld: Bob Bronshoff.

Wat hield ‘wiskunde doen’ precies in?

‘De taak die wij toen hadden, was het simuleren van halfgeleiders. Voor die halfgeleiders heb je een wiskundig model: een set vergelijkingen die het gedrag van de half­geleiders beschrijven. Die vergelijkingen waren ontzettend vervelend om op te lossen. De gebruikelijke methodes om dat te doen werkten allemaal niet. Door diep op de vergelijkingen in te gaan konden wij erachter komen waarom die standaardmethodes niet werkten en konden we vereenvoudigde ­vergelijkingen opschrijven die grofweg op hetzelfde neerkwamen.

Veel mensen in de industrie die met simulaties werken komen een probleem tegen en zeggen dan: ‘O ja, ik weet wel hoe dat opgelost kan worden.’ Dan blijkt hun oplossing voor probleem één te werken, maar voor probleem twee niet. Wij probeerden daarentegen echt heel diep te gaan, naar de basis, en te begrijpen waarom iets niet werkte. ­Vergelijk het met naar de huisarts gaan met hoofdpijn. De huisarts kan dan zeggen: ‘Hier heb je paracetamol, elke dag innemen, klaar.’ Maar wat hij ook kan doen, is even een halfuurtje met de patiënt praten. Dan komt hij er misschien achter wat er écht aan de hand is: bijvoorbeeld stress of een scheiding. Dan schrijft de huisarts waarschijnlijk iets anders voor.

We probeerden ook altijd ons voordeel te doen met de eigenschappen van het onderliggende probleem. Bij simulaties moet je altijd een beginschatting doen. Vanaf daar probeer je steeds dichter bij de juiste oplossing te komen. Bij de halfgeleidersimulatie lukte het ons eerst niet om een goede beginschatting te nemen. Toen hebben we op een gegeven moment met een elektronisch ingenieur uit het natuurkundig laboratorium van Philips gepraat. Die zei: ‘Waarom nemen jullie als beginschatting niet een simpele situatie waarin je de lading van de halfgeleider gelijkstelt aan nul?’ Dat bleek fantastisch te werken. Die oplossing was natuurkundig van aard, maar uiteindelijk konden we ook wiskundig verklaren waarom dat een juiste beginschatting was.’

Wordt die interdisciplinariteit steeds belangrijker?

‘Ja, we zitten steeds vaker in interdisciplinaire teams – en dat is ook nodig, denk ik. ­Enerzijds om het voorbeeld dat ik net gaf: met goed luisteren naar elkaar kun je je voordeel doen. Anderzijds omdat het abstracte denken van wiskunde weer voordelig kan zijn in heel veel andere disciplines.

Ik gebruik bij voorkeur ook ‘mimetische’ methodes. Die term komt van het Engelse mimic, dat nabootsen betekent. Dit zijn methodes die de eigenschappen van het oorspronkelijke probleem gebruiken en representeren. In de numerieke wiskunde is het vaak zo dat je allerlei standaardmethodes hebt die zijn gestoeld op heel algemene principes. Daar gebruik je typisch niet de eigenschappen van een probleem bij. Maar bij halfgeleiders weet je bijvoorbeeld dat het aantal elektronen in een stukje materiaal een positief getal moet zijn. Als er uit een vergelijking voor deze waarde een klein negatief getal rolt, dan zou je kunnen zeggen dat het ongeveer goed is. Maar een fysicus zou onverbiddelijk zijn en je manen om je huiswerk nog maar een keer te doen. Een ander voorbeeld is dat je weet dat stroom behouden moet blijven: wat erin gaat, komt er ook weer uit. Het verschil daartussen moet precies nul zijn. Niet 0,001 ofzo, want waar is die stroom dan gebleven? Ik ontwikkel mimetische methodes die hier rekening mee houden. Dat maakt de oplossingen nauwkeuriger en beter.’

Wat is de volgende stap, als u zo’n ­oplossing hebt ontwikkeld?

‘Meestal wordt er dan software van gemaakt. Bij Philips bedachten wij destijds wiskundige methodes om een probleem op te lossen, waarna informatici die methodes omzetten in code. Toentertijd was het maken van softwarepakketten nog helemaal niet gangbaar. Wij waren een van de eersten die dat deden.’

Hoe zag een werkdag bij Philips er concreet uit; was u veel aan het rekenen?

‘We waren vooral heel veel bezig met discussiëren over methodes. We werkten aan heel omvangrijke problemen: we moesten oplossingen vinden voor stelsels van tienduizenden vergelijkingen, soms zelfs een miljoen. Daar kun je de gebruikelijke wiskundige methodes op loslaten, maar dan treden er vaak problemen op die je weer nader moet analyseren. Wij keken hoe we een groot probleem konden reduceren tot een klein probleempje, maar met behoud van dezelfde moeilijkheden. Vervolgens kun je het op papier en met heel simpele software ontrafelen. En heb je een oplossing, dan kun je weer opschalen naar grotere problemen.’

‘Bij heel grote supercomputers met heel veel processoren worden mensen gemakzuchtig’

Welke rol heeft het steeds sneller worden van computers gespeeld in uw werk?

‘Het interessante is dat niet alleen computers in de loop der jaren steeds sneller zijn geworden, ook de algoritmen die erop draaien. Vaak zelfs nóg sneller in verhouding. In het Engels zeggen we dan the methods outperform the machines. Stel dat wij niks aan onze wiskundige algoritmen hadden gedaan de afgelopen veertig jaar, dan waren we nu bezig met simulaties uit de jaren negentig. Meer dan dat hadden we dan niet kunnen doen op de huidige snelle computers. De onvoorstelbare simulaties die vandaag de dag mogelijk zijn, zijn echt een gecombineerde inspanning van snellere machines én algoritmen. Daar mogen we als wiskundigen nog wel wat meer pr over doen richting beleidsmakers. Die kennen vaak alleen het verhaal over de computers.’

Draait het altijd om snelheid?

‘Nou, in eerste instantie gaat het om nauwkeurigheid en robuustheid. We willen kunnen garanderen dat we de juiste oplossing te pakken hebben. Maar dan is de volgende vraag inderdaad: kan het sneller? Momenteel is het gevaar wel een beetje dat mensen bij heel grote supercomputers met heel veel processoren gemakzuchtig worden: ‘Gooi het gewoon in die supercomputer, die lost het wel op. Het duurt een dag, maar wat maakt het uit.’ Maar waarom zou je die brute kracht gebruiken als je ook naar een slimmere methode op zoek kunt? Want vaak zit er heel veel overbodige informatie in een probleem dat je wilt oplossen.

Dit is een onderwerp waar ik de afgelopen twintig jaar ook veel aan heb gewerkt. Dit vakgebied heet model order reduction. ­Hierin probeer je de dominante informatie uit een groot model te halen. Vaak heb je alle kleine details niet nodig, maar wil je alleen grosso modo weten hoe een systeem zich gedraagt. Door de overbodige informatie eruit te filteren, kun je met een gewone ­computer toe in plaats van een supercomputer. Ook het energie-aspect speelt hier tegenwoordig een grote rol in; daar wordt zeer kritisch naar gekeken.’

Wat u doet is vrij fundamenteel. Hoe zien we de bijdrage van de wiskunde terug in een eindproduct?

‘Wiskunde levert een onzichtbare bijdrage aan zichtbare successen. Wij zorgen ervoor dat mensen kunnen simuleren en van alles kunnen uitrekenen. Bij Philips gingen de ingenieurs met onze softwarepakketten aan de slag. Die bedachten dan allerlei nieuwe schakelingen en nieuwe halfgeleiders. Dan zei de manager: ‘Geweldig, goed gedaan!’ Maar bij ons kwam hij dan niet langs. Wiskunde wordt vaak gezien als gereedschap: je hebt het nodig om bepaalde dingen te kunnen doen. Anderen profiteren daar dan van.’

Is dat weleens jammer?

‘Soms wel. We zijn eraan gewend, maar af en toe wil je er toch ook wel een beetje erkenning voor.’

‘Soms denk je weleens dat de numerieke wiskunde bijna af is’

Over erkenning gesproken: er is een ­wiskundige methode naar u vernoemd, de Schildersfactorisatie. Wat is het verhaal daarachter?

‘We waren bij Philips bezig met het simuleren van circuits. In zo’n simulatie krijg je een netwerk met twee variabelen: spanningen en stromen. In dat netwerk loopt over elk takje een bepaalde stroom. En op elk knooppunt zit een bepaalde spanning. Hieruit kun je een stelsel met vergelijkingen afleiden waarin al die verschillende spanningen en stromen voorkomen. In dat stelsel bleken best wat problemen te zitten die het moeilijk maakten om tot een oplossing te komen. Toen was mijn idee: laten we de boel eens gaan herordenen.

Meestal zijn er meer stromen dan spanningen. Teken maar eens zo’n netwerk, dan zie je dat er meer takjes (stromen) zijn dan knooppunten (spanningen). We ­gingen al die spanningen één op één koppelen aan stromen. Die paartjes zetten we bovenaan. Aan het eind heb je dan nog een hoop stroompjes over. Die zetten we aan het eind. Nadat we dat hadden gedaan, bleek dat het ineens veel beter ging.

Die methode heb ik vervolgens veralgemeniseerd voor stelsels vergelijkingen met soortgelijke eigenschappen, en dat bleek ook te werken. Later ontdekte ik samen met die adviseurs die elke twee weken langskwamen dat die fysieke herordening niet eens nodig was. Je kon hier ook een wiskundig trucje op loslaten. Daar is de Schildersfactorisatie op gebaseerd, hoewel het nog wel wat complexer in elkaar zit dan ik nu beschrijf.’

Wat zijn momenteel de grootste ­uitdagingen in de numerieke wiskunde?

‘Soms denk je weleens dat de numerieke wiskunde bijna helemaal af is. Maar dan zijn er weer nieuwe ontwikkelingen, zoals high performance computing en kunstmatige intelligentie.

Bij high performance computing gaat het om computers met meerdere processoren. De meeste methodes uit het verleden zijn geschikt om heel efficiënt op één processor te draaien. Maar draai je ze op tien processoren, dan blijken er allerlei componenten in zo’n methode zitten die het proces vertragen. De methode is bijvoorbeeld stapsgewijs: informatie in de ene stap hangt af van informatie die je daarvoor al gegenereerd moet hebben. Dat is niet zo handig in een parallel systeem. Daarin wil je juist dat ­dingen onafhankelijk van elkaar op die tien processoren kunnen draaien. We ­zullen de methodes dus geschikt moeten maken voor gebruik op parallelle reken­systemen – en dat dan ook weer snel. Daarvoor moet je heel erg outside the box denken.

Op het gebied van kunstmatige intelligentie zijn er ook spannende ontwikkelingen. Daarin wordt gewerkt aan neurale netwerken (netwerken met een structuur zoals die van het menselijk brein, red.). Wiskunde is hard nodig om de werking van neurale netwerken te doorgronden. Een stokpaardje van mij is: real intelligence is needed to make artificial intelligence work.’

U zei eerder: wiskundigen moeten meer tamtam maken. Doet u dat in uw functie als directeur van Platform ­Wiskunde Nederland?

Platform Wiskunde Nederland bestaat sinds 2010, en we proberen inderdaad op allerlei manieren meer aandacht voor de wiskunde te krijgen. We hebben bijvoorbeeld het boekje Succesformules laten schrijven door Ionica Smeets en Bennie Mols, dat aan ­middelbare scholieren laat zien dat wiskunde overal in de industrie en maatschappij gebruikt wordt. Een paar jaar geleden hebben we een reizende tentoonstelling gehad, Imaginary, die de schoonheid van wiskunde liet zien. Dat willen we volgend jaar weer doen, waarbij we dan meer de toepassingen tonen. Hetzelfde proberen we op internationaal gebied, in een Europese en een wereldwijde organisatie voor industriële en toegepaste wiskunde waar ik per september president van ben. Daarin proberen we van elkaar te leren hoe we wiskunde aan de man kunnen brengen. Het is en blijft belangrijk dat wiskundigen zich meer laten zien en horen, en dat ze laten zien wat er dankzij wiskunde allemaal mogelijk is.’

Afbeelding 1
Beeld: Bob Bronshoff.

Wil Schilders (1956) is hoogleraar numerieke wiskunde aan de Technische Universiteit Eindhoven. Na een studie wiskunde (1974-1978) aan de Radboud Universiteit Nijmegen promoveerde hij in 1980 in de numerieke wiskunde aan Trinity College in Dublin. ­Hierna werkte hij dertig jaar aan de simulatie van halfgeleiders en elektronische ­circuits − tot 2006 bij Philips, en daarna nog vier jaar bij spin-off NXP Semiconductors. Sinds 1999 heeft hij een deeltijdaanstelling als hoog­leraar aan de TU Eindhoven. Hij maakt zich ook hard voor het uitdragen van het belang van wiskunde in de maatschappij: sinds 2010 als directeur van Platform ­Wiskunde Nederland, als president van EU-MATHS-IN (2016-2020) en sinds oktober 2021 als ­president van de International Council for Industrial and Applied Mathematics.


Dit artikel is verschenen in New Scientist 94. Deze editie vind je in ons digitaal archief.