De oude Babyloniërs beheersten belangrijke geometrische technieken, waaronder het maken van precieze rechthoekige driehoeken. Nu blijkt uit een oeroud kleitablet dat ze deze wiskundige kennis inzetten om landbouwgrond te verdelen.

De Babyloniërs berekenden de lengtes van de zijdes van rechthoekige driehoeken al meer dan duizend jaar voor de geboorte van Pythagoras, met wie deze vaardigheid vooral wordt geassocieerd. ‘Ze gebruikten theoretische kennis over geometrische figuren om praktische dingen te doen’, zegt wiskundige Daniel Mansfield van de Universiteit van New South Wales in Sydney. ‘Het is heel gek om te zien dat deze geometrische figuren bijna 4000 jaar geleden al gebruikt werden.’

Het oude Babylonië was van 2500 tot 500 voor Christus een gemeenschap in Mesopotamië, een regio in Zuidwest-Azië tussen de Eufraat en de Tigris. Tussen 1900 en 1600 voor Christus strekte het Eerste Babylonische Rijk zich uit over een groot gebied.

‘We willen kunstmatig ­intelligente systemen taal en de wereld laten begrijpen’
LEES OOK
‘We willen kunstmatig ­intelligente systemen taal en de wereld laten begrijpen’

Stelling van Pythagoras

Mansfield houdt zich al jaren bezig met de studie van Plimpton 322: een gebroken kleitablet uit deze periode. Het kleitablet is bezaaid met markeringen in spijkerschrift. Samen vormen die een wiskundige tabel met ‘pythagorese drietallen’. Elk drietal toont de lengte van de drie zijden van een rechthoekige driehoek, waarbij elke lengte een geheel getal moet zijn. Het simpelste voorbeeld is (3, 4, 5). Andere voorbeelden zijn (5, 12, 13) en (8, 15, 17).

De lengtes van deze driehoekszijden voldoen aan de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de langste zijde is gelijk aan de som van de kwadraten van de twee andere zijdes. Dit klassieke stukje wiskunde is vernoemd naar de Griekse wetenschapper Pythagoras, die leefde tussen ongeveer 570 en 495 voor Christus. – meer dan duizend jaar nadat het Plimpton 322-kleitablet werd gemaakt.

Pythagorese drietallen zijn voor ons vrij makkelijk te berekenen, maar in het Babylonische getallenstelsel is het erg lastig om te rekenen met priemgetallen boven de vijf. Toch bevat Plimpton 322 een boel grote getallen. Het indrukwekkendste drietal is (12.709, 13.500, 18.541), waarbij het laatste getal een priemgetal is. ‘De oude Babyloniërs beheersten de stelling van Pythagoras’, zegt Mansfield. ‘De vraag is: waarom?’

Landmeter

Mansfield denkt nu het antwoord te hebben gevonden. Hij werd op het spoor gezet door een tweede kleitablet, Si.427 genaamd, dat in 1894 in Irak is opgegraven en nu te zien is in de Istanbul Archaeology Museums.

Si.427 was een kleitablet van een landmeter. Het werd gebruikt om een stuk grond eerlijk te verdelen door het op te splitsen in rechthoeken. Het is het enige bekende oud-Babylonische kleitablet met zo’n kadasterfunctie.

Op de voorkant van kleitablet Si.427 is met een diagram de verdeling van een stuk grond aangegeven. Beeld: UNSW Sydney

Het kleitablet bevat allerlei verschillende rechthoekige driehoeken en rechthoeken. ‘Op andere kleitabletten zijn rechthoeken altijd wat wiebelig, omdat het slechts benaderingen zijn’, zegt Mansfield. Maar Si.427 is anders. ‘De rechthoeken zijn perfect’, zegt Mansfield. Die perfectie bereikte de landmeter doordat hij pythagorese drietallen gebruikte. Het is het oudst bekende voorbeeld van toegepaste geometrie.

Proto-trigonometrie

‘Het is alom bekend dat trigonometrie – de tak van de wiskunde die draait om het bestuderen van driehoeken – is ontwikkeld door de oude Grieken toen die in de tweede eeuw voor Christus de nachtelijke hemel bestudeerden’, zegt Mansfield. ‘Maar de oude Babyloniërs ontwikkelden hun eigen alternatieve ‘proto-trigonometrie’. Dat deden ze niet om hemelverschijnselen, maar om stukken grond te meten.’  

De achterkant van kleitablet Si.427 bevat tekst, geschreven in spijkerschrift, die de grootte van het stuk grond op de voorkant beschrijft. Beeld: UNSW Sydney

‘Zelfs de vorm van deze kleitabletten vertelt een verhaal’, zegt Mansfield. ‘Si.427 is een handtablet. Iemand raapte een stuk klei op, greep het vast en schreef erop tijdens het opmeten van een stuk grond.’

Plimpton 322 lijkt daarentegen eerder een soort academische tekst. Dit tablet geeft systematisch onderzoek naar pythagorese drietallen weer, wellicht daartoe aangezet door de moeilijkheden waar landmeters mee kampten. ‘Hierbij heeft iemand zittend achter een bureau eerst een enorme kleiplaat platgeslagen’, zegt Mansfield.

Grensverleggende getallen
LEESTIP: Dit boekje van New Scientist-redacteur Yannick Fritschy bespreekt op een leuke en toegankelijke manier de belangrijkste getalsuitvindingen uit de geschiedenis. Ga naar onze webshop voor een inkijkje!