Wiskundedocent en puzzelmaker Jaap Klouwen leverde onlangs zijn derde bundel af: Denkraam. ‘Ik hoop dat ik mensen op een speelse wijze enthousiast kan maken voor wiskunde, symmetrie en taal.’

Jaap Klouwen. Foto: Bart Klouwen;
Jaap Klouwen.
Foto: Bart Klouwen

Elke twee weken leverde hij een nieuwe verse hersenkraker af op de redactie van Folia, het weekblad voor de Universiteit van Amsterdam. Twaalf jaar lang.  Toen het volgens de redactie in 1995 tijd was voor wat nieuws, wist Jaap Klouwen (1957) een uitgever bereid te vinden zijn opgaven te bundelen.

Deze maand verscheen alweer het derde deel, getiteld Denkraam. Wederom een bundel vol geometrische vraagstukken, getallenworstelingen en taalpuzzels. ‘Het is een boek dat je niet in één keer uit hebt.’

Zomers warmen sneller op dan winters
LEES OOK

Zomers warmen sneller op dan winters

Als het klimaat verder opwarmt, zullen de zomers waarschijnlijk sneller opwarmen dan de winters. Dat blijkt uit onderzoek naar schelpen.

Twaalf jaar lang maakte u een puzzel voor Folia. Hoe heeft u dat volgehouden?
‘Ja, dat vraag ik me achteraf ook af. Ik verzon en verzin de puzzels zelf. Dus moest ik elke twee weken met een nieuwe, originele opgave komen. Vooral het weekeind voor de deadline was het afzien, zeker voor mijn vriendin. Op de maandag van de deadline wachtte er in ruil voor een nieuwe aflevering altijd een tas vol briefkaarten met goede inzendingen. Als de vaste club van inzenders een keer niet meedeed, wist ik dat de opgave te makkelijk was geweest.’

En hebben die vaste inzenders u ooit op een foutje betrapt?
‘Ik denk dat er op de meer dan 250 afleveringen slechts drie of vier keer een foutje in is geslopen, bijna zeker door een drukfout. Een aantal keren hebben ze me wel verder aan het denken gezet. Dan bleek het antwoord op een wiskundig vraagstuk het gevolg van de stelling van ‘doctor Hupsakee’ uit 1881! Geweldig toch? Ik vind dat niet erg. Ik weet wel wat van wiskunde, maar ben geen heel groot wiskundige.’

Heeft u nooit om de lezers extra te prikkelen stiekem een foutje aangebracht?
‘Nee, daar ben ik te zorgvuldig voor. Ik heb het wel een keer gedaan in de voorbereiding voor een bezoek van een visitatiecommissie aan de Hogeschool van Amsterdam, waar ik lesgeef. Heb ik in het moduleboek het telefoonnummer opgenomen van mijn schoonmoeder. Dat is nooit door iemand opgemerkt! Het is veel leuker de lezers op een creatieve manier extreem uit te dagen. Bijvoorbeeld door een prijs te geven aan de inzending met het kleinste getal dat maar één keer wordt ingestuurd.’

Ook in deze nieuwe bundel heeft u bijna alle puzzels weer zelf bedacht. Hoe combineert u dat met uw dagelijks werk als hogeschool­docent?
‘Ik kom ze soms gewoon tegen. In de krant, op televisie, op straat of zelfs in de Hema. Daar zag ik in een schap met opbergboxjes in diverse bijzondere formaten. Ik had direct door dat er iets met die vormen was. Wat bleek? Als je er twee tegen elkaar legde bleef de vorm gelijk. En er was maar één verhouding die daarvoor zorgde. Anderen lopen er straal aan voorbij, ik zie direct een nieuwe puzzel. Gewoon gratis en voor niks, in de Hema!’

A-e-i-o-u... alle klinkers zitten erin
A-e-i-o-u… alle klinkers zitten erin

Een soortgelijke afwijking heeft u ook met taal?
‘Jazeker. Dan ben ik bezig met aeiou-woorden en voor ik het weet ben ik dan als een soort Hugo Brandt Corstius in een Battusstand de kranten aan het scannen op woorden als nazikopstukken en jihadouders. Alleen na het bewust omzetten van de knop kan ik daarna de krant weer gewoon lezen.’
‘Mensen die houden van wiskunde zijn meestal ook dol op creatief stoeien met taal. Ik heb ook louter interesse in het deelgebied lollige taal, niet zo zeer in grammatica of vreemde talen.’

Hoeveel tijd kost het puzzels bedenken u?
‘Met zo’n toevalstreffer uit de Hema ben ik nog het minste tijd kwijt. Maar de in de bundel opgenomen puzzels over zelftellers, sieraadvormen, magische vierkanten of over de Azoren zijn van een andere orde. Met de laatste ben ik weken bezig geweest, inclusief een bezoek aan een studievriend op de wiskundefaculteit in Nijmegen. Een monsterklus. En dat voor één vraagstuk rond vijf eilanden. Hartstikke leuk, maar hoe zit het met zes of twintig eilanden? Het blijft interessant als uit oplossingen van vraagstukken zich nieuwe problemen aandienen. Dat soort hersenspinsels houdt mij enthousiast.’


De achttiende kameel

Denkraam
Deze opgave is afkomstig uit Denkraam. Bestel in onze webshop

Er was eens een oude Arabier, die 17 kamelen bezat. Toen de man zijn einde voelde naderen, wist hij dat de tijd gekomen was zijn bezit te verdelen onder zijn drie zonen. Volgens de traditie zou de oudste zoon de helft van zijn totale bezit erven, de tweede zoon 1/3 deel en de jongste 1/9 deel.

Dit leek echter een onmogelijke taak. 17 was niet te delen door 2, niet door 3 en niet door 9. En een kameel slachten en het in stukken te verdelen, wilde de oude man niet. Hij worstelde vele nachten met dit probleem, terwijl zijn zoons om hem heen zaten. Zij wisten ook niet hoe dit probleem op te lossen.

Ten einde raad liet de oude man een wijze vrouw uit het dorp bij zich komen. Hij legde het probleem voor. De vrouw dacht geen moment na, vertrok en kwam even later terug met haar eigen kameel. Het was haar enige bezit, maar ze zei: ‘Hier, neem mijn kameel en uw probleem is opgelost.’

De oude man was heel gelukkig met deze oplossing. Hij schonk zijn oudste zoon 9 kamelen, de helft van 18. Zijn tweede zoon kreeg 6 kamelen, 1/3 deel van 18. En de jongste kreeg er 2, 1/9 deel van 18. Zo verdeelde hij zijn 17 kamelen en hield er een over. Die schonk hij terug aan de wijze vrouw om even later tevreden zijn laatste adem uit te blazen.

De moraal van bovenstaande parabel is: ga op zoek naar de achttiende kameel als je een probleem niet direct kunt oplossen.

Opgave

Bij het lezen van het verhaal over de achttiende kameel schoten mij minstens twee vragen te binnen:

  1. Is er een verdeling met onderling ongelijke erfdelen onder drie zonen die wel precies uitkomt? Dus: 1/a+1/b+1/c=1, met a<b<c en a, b en c geheel. (Ja, en die mag u zelf even vinden; er is maar één oplossing.)
  2. Bestaat er een verdeling op dezelfde manier als in vraag 1 onder vier zonen? Ja, want die volgt direct uit de het eerste verhaal: het viertal (2, 3, 9, 18). Maar zijn er nog meer oplossingen?

Zoek nog een tweede viertal (a, b, c, d) met de genoemde eigenschap. En zoek, als u dat wilt, ook nog een vijftal.

Oplossing (selecteer de onderstaande alinea om zichtbaar te maken)

De enige andere oplossing bij 3 zonen is met 2/3/6.

Er zijn, naast de genoemde oplossing (2/3/8/18) nog vijf andere viertallen mogelijk: 2/3/7/42, 2/3/8/24, 2/3/10/15, 2/4/5/20 en 2/4/6/12. Het laatste viertal maakt alleen gebruikt van even getallen. (NB: van een verdeling onder eventuele dochters wordt in het verhaal niet gesproken; evenmin is er sprake van een ­gelijke verdeling van een erfenis!) Voor vijf zonen zijn bijvoorbeeld mogelijk: 2/3/8/40/60, 2/3/9/30/45, 2/4/5/25/100 en 3/4/5/6/20. In totaal zijn er dan maar liefst 72 oplossingen, waarover meer in Denkraam.