Wiskundigen houden zich al tijden bezig met de vraag wat de efficiëntste manier is om bollen in een ruimte te stoppen. Natuurkundigen hebben nu bevestigd dat bolletjes het best in een worstvorm passen, als het tenminste om een klein aantal gaat.

Wat is de meest ruimte-efficiënte manier om tennisballen of sinaasappels in te pakken? Al eeuwenlang bestuderen wiskundigen dit ‘bollen-inpakprobleem’. Er is tot nu toe echter verrassend weinig animo geweest om hun bevindingen in de praktijk te testen. Maar nu hebben natuurkundige experimenten met microscopisch kleine plastic bolletjes dan toch bevestigd wat wiskundigen al lang vermoedden: een klein aantal bolletjes kun je het beste in een worstvorm stoppen.

De Duitse wis- en sterrenkundige Johannes Kepler was de eerste die zich bezighield met het inpakken van bollen. Hij suggereerde in 1611 dat een piramide de beste manier zou zijn om kanonskogels te verpakken voor lange reizen. Pas in 2014 lukte het wiskundigen om deze oplossing volledig te bewijzen.

De geschiedenis van de  wiskunde is diverser dan je denkt
LEES OOK

De geschiedenis van de wiskunde is diverser dan je denkt

Wiskunde is niet alleen afkomstig van de oude Grieken. Veel van onze kennis komt van elders, waaronder het oude China, India en het Arabisch Schiereil ...

Dit bewijs beschouwt echter alleen de beste manier om een oneindig aantal bollen te verpakken. Om een eindig aantal bollen in te pakken is het, bij minder dan 56 bollen, efficiënter om de bollen simpelweg in een lijn, of worst, te plaatsen. Als ze met meer dan 56 zijn, ondervinden de bollen wat wiskundigen de ‘worstcatastrofe’ noemen. Vanaf dat aantal wordt een pakvorm die meer op een piramide lijkt efficiënter.

Polystyreenbolletjes

Maar hoe zit het in de echte wereld? Theorieën om bollen in te pakken gaan ervan uit dat de bollen hard zijn en elkaar niet aantrekken of afstoten. Dit is in het echte leven slechts zelden waar – denk maar aan het pletten van een tennisbal of sinaasappel.

Een uitzondering hierop zijn microscopisch kleine bolletjes van polystyreen. Deze bolletjes zijn erg hard en reageren in principe nergens mee. Experimenteel natuurkundige Hanumantha Rao Vutukuri van de Universiteit Twente en zijn team, die niet op de hoogte waren van de wiskundige bollen-inpaktheorieën, deden experimenten waarbij ze deze bolletjes in lege celmembranen stopten. Ze waren verbaasd toen ze zagen dat de celmembranen worstjes vormden. Hun onderzoek verscheen recent in het wetenschappelijke tijdschrift Nature.

‘Een van mijn studenten zag dat de bolletjes de vorm van een lijn aannamen. We snapten niet hoe dat kon’, zegt Vutukuri. ‘We dachten dat het een toevalstreffer was, dus de student herhaalde het experiment een paar keer. Elke keer kreeg hij vergelijkbare resultaten’, zegt Vutukuri. ‘Ik vroeg me af waarom dit gebeurde. Het is een beetje tegen-intuïtief.’

Experimenten laten zien dat microscopisch kleine plastic bolletjes de vorm van een worst aannemen in een celmembraan. Beeld: S. Marín-Aguilar et al.

Simulaties

Nadat Vutukuri en zijn team zich in hadden gelezen over het inpakken van bollen, besloten ze het fenomeen verder te onderzoeken door simulaties uit te voeren met verschillende hoeveelheden polystyreenbolletjes in een zak. Vervolgens vergeleken ze hun voorspellingen met experimenten waarbij ze tot negen echte polystyreenbolletjes in celmembranen stopten die ze ondergedompeld hadden in een vloeibare oplossing. Daarna veranderden ze de concentratie van de oplossing, waardoor de membranen strakker om de bolletjes heen gingen zitten. Met een microscoop konden ze zien in welke vorm de bolletjes zich schikten.

‘Voor maximaal negen bolletjes hebben we zowel experimenteel als met simulaties laten zien dat de bolletjes in een worstvorm het efficiëntst ingepakt zijn’, zegt theoretisch natuurkundige Marjolein Dijkstra van de Universiteit Utrecht, die tot team van Vutukuri behoort. Bij meer dan negen bolletjes vervormde het membraan door de druk van de bolletjes. Het team maakte simulaties voor maximaal 150 bollen en reproduceerde de worstcatastrofe, waarbij het tussen de 56 en 70 bolletjes plotseling efficiënter wordt om de bolletjes in veelvlak-vormen te verpakken, zoals een piramide.

Simulaties van de kleine plastic bolletjes in een membraan. Beeld: S. Marín-Aguilar et al.

Contra-intuïtief

De worstvorming bij een klein aantal bollen is tegenintuïtief, zegt natuurkundige Erich Müller van het Imperial College in Londen, die niet betrokken was bij het onderzoek. Toch is het ergens wel logisch, als je het grote oppervlak van het membraan vergelijkt met het oppervlak van de bolletjes als het om kleine aantallen gaat. ‘Als de afmetingen echt heel klein worden, dan worden de wandeffecten heel belangrijk,’ zegt hij. Bij het inpakken van bollen blijft er bij de rand namelijk altijd wat ruimte over.

Volgens Müller kunnen de bevindingen toepassingen hebben in de toediening van medicijnen, bijvoorbeeld om harde antibioticamoleculen zo efficiënt mogelijk in cel-achtige membranen te plaatsen, al is zo’n vertaling naar de praktijk volgens Müller nog ver weg.